"тормозит процесс продажи аргументом, что ему нужно получить этот билет." - врет.
никакого отношения военник к продаже не имеет. от слова совсем. к прописке тоже.
разбирайтесь, зачем он морочит вам голову.

"Говорит билет будет нужен что бы прописаться в новой квартире и нужно по любому встать на учёт в военкомате" - ну это даже не смешно. вас откровенно разводят на полном фуфле.
да, чисто формально (формально!) нужно отнести военник в военкомат по месту прописки после (ПОСЛЕ!!!) того как пропишешься в новой квартире. на практике же всем на это глубоко плевать. тем более в возрасте 38 лет. я понимаю, если бы он бегал от армии до 28 лет, это еще чисто теоретически можно было бы принять за переизбыток паранойи. но когда человек в возрасте 38 лет на полном серьезе выдает вам такую версию - это значит что он откровенно держит вас за ... догадайтесь сами за кого.

Таких аргументов я ещё не встречал ни разу, это надо постараться придумать). Потом может «понадобиться» страховой полис или справка об окончании средней школы, рекомендации с места работы или что-то ещё, зависит от фантазии брата. Военный билет не нужен для совершения сделки купли-продажи квартиры.